菁优网高中数学什么是函数的对称性

一、菁优网高中数学什么是函数的对称性

【函数的对称性】是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决，对称关系同时还充分体现数学之美。

1、函数y = f (x)的图象的对称性（自身）:

（1）定理1：函数y = f (x)的图象关于直线x=(a+b)/2对称：

→ f (a+x)= f (b-x)→f (a+b-x)= f (x)

特殊的有：

①函数y = f (x)的图象关于直线x=a对称 →f (a+x)=f (a-x)→f (2a-x)=f (x)；

②函数y = f (x)的图象关于y轴对称（奇函数）→f (-x)=f (x)；

③函数y = f (x+a)是偶函数→f (x)关于x=a对称；

（2）定理2：函数y = f (x)的图象关于点(a，b)对称：

→ f (x)=2b- f (2a-x)→f (a+x)+ f (a-x)=2b

特殊的有：

① 函数y = f (x)的图象关于点（a，0）对称→f (x)=-f (2a-x)；

② 函数y = f (x)的图象关于原点对称（奇函数） →f (-x)=f (x)；

③ 函数y = f (x+a)是奇函数 →f (x)关于点(a，0) 对称。

（3）定理3：（性质）

①若函数y=f (x)的图像有两条铅直对称轴x=a和x=b(a不等于b，那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期；

②若函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m，n)和一条铅直对称轴x=a，那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期；

③若函数y = f (x) 图像同时关于点A(a，c)和点B (b，c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期；

④若一个函数的反函数是它本身，那么它的图像关于直线y=x对称。

2、两个函数图象的对称性:

（1）函数y = f (x)与函数y = f (-x)的图象关于直线x=0（即y轴）对称；

（2）函数y = f (mx-a)与函数y = f (b-mx)的图象关于直线x=(a+b)/2m对称；

特殊地：y = f (x-a)与函数y = f (a-x)的图象关于直线x=a对称；

（3）函数y = f (x)的图象关于直线x=a对称的解析式为y = f (2a-x)；

（4）函数的y = f (x)图象关于点（a，0）对称的解析式为y = -f (2a-x)；

（5）函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。

函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。

函数y = f (x)的图像与x = f(y)的图像关于直线x = y 成轴对称。

二、对称（包括中心对称和轴对称）的含义是什么？原函数和反函数的图形对称关系是关于Y=X对称？那么两个乘积等于1的函数是不是也关于Y=X对称？

中心对称指图像关于某一中心对称，此中心称为对称中心，图像绕对称中心旋转180度可以重合，轴对称指图像关于某一轴对称，此轴称为对称轴，图像绕对称轴翻转180度可以重合。

原函数和反函数关于Y=X对称，两个乘积等于1的函数不关于Y=X对称，原函数和反函数与两个乘积等于1的函数没有什么关系。

关于Y=X对称意思是原函数（或反函数）图像绕Y=X翻转180度可以与反函数（或原函数）重合。也就是以原函数上的一点（X,Y）和反函数上对应点（Y，X）为端点的直线的中点在直线Y=X上。

关于Y=0对称是图像绕Y=0翻转180度可以重合。

一个函数不可能关于Y=0对称，两个函数才可以关于Y=0对称。也就是Y=F(X)和Y=-F(X)关于Y=0对称。

函数在定义域内具有连续导数，说明函数在定义域内处处连续并可导。没有导数不存在点

三、我有一个维度是用A和B来测量的，那这个A和B是不是调节变量？

您好朋友：

你的想法是对的。

维度就是在A与B之间调节变量。如果你再细读一下使用说明，肯定会渗透更多的操作方法。

像你这么聪明的娃，怎么会想不到呢？不可能的，加油吧！

四、函数对称性问题

若f(1-x)=f(x-1)，f(x)关于y=0对称。 设x-1=t,则f(t)=f(-t)，偶函数。 （PS：若f(1-x)=f(x+1)，f(x)关于y=1对称.可以认为x是一段距离，据f(1-x)=f(x+1)知，据1距离x的两点对应的函数值相等。） （PS：下文中 ^ 表示 -1。） 设f(x+2)=y,则f^(y)=x+2 x=f^(y)-2，xy异位， y=f^(x)-2 它与它的反函数是和y=x对称，因为这是反函数性质。 注意：关键不在x+2,而在f( )代表的含义。f肠伐斑和职古办汰暴咯( )代表的是一种对应关系。不管里面是什么，对应关系始终不变，最多是定义域和图像位置的改变而已。 所以说，问f(x+2)的反函数，实际是问f(t)这种对应关系的反函数而已。 （很久不做这类题，有错别见怪^_^)